Vibrations de masses liées élastiquement

La simulation modélise N masses m=1 kg identiques, liées élastiquement. Chaque masse ne peut se déplacer que verticalement. Il n’y a aucune source d’amortissement.

La masse de gauche peut être excitée sinusoïdalement, ou bien par une impulsion de forme donnée.

On appelle

l’ordonnée de la masse numéro

, telle qu’au repos

. L’axe Oy est pris vertical ascendant. La projection sur

de la force de rappel entre deux masses est de la forme (en valeur absolue) $\alpha\Delta y$ où $\alpha$ est la constante de rappel, et $\Delta y$ la différence d’ordonnée entre les deux masses.

Relation de dispersion

Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur Oy, appliqué à la masse numéro n s’écrit

$m\ddot{y}_n = \alpha (2y_n - y_{n-1} - y_{n+1})$
$m\ddot{y}_n = \alpha(- 2 y_n + y_{n-1} + y_{n+1})$
$m\ddot{y}_n = \alpha(y_{n-1} - y_{n+1})$
$m\ddot{y}_n = \alpha(-y_{n-1} + y_{n+1})$

On cherche des solutions de la forme $y_n=A\mathrm{e}^{j(kna-\omega t)}$ où

est la distance entre les masses lorsqu’elles sont au repos et

k représente

la longueur d’onde
le nombre d’onde
la pulsation

La relation de dispersion pour cette chaîne est

$\omega=2\sqrt{\frac{\alpha}{m}} \cos \frac{ka}{2}$
$\omega=2\sqrt{\frac{\alpha}{m}} | \cos \frac{ka}{2}|$
$\omega=2\sqrt{\frac{\alpha}{m}} \sin \frac{ka}{2}$
$\omega=2\sqrt{\frac{\alpha}{m}} | \sin \frac{ka}{2} |$

Pour une pulsation de 2 rad/s, la longueur d’onde vaut (en mètres, un chiffre après la virgule)

La pulsation de coupure $\omega_c$ , telle que si $\omega>\omega_c$ la vibration ne se propage pas (on supposera que c’est le cas si les

ne dépassent pas 0,1 m) vaut environ (en rad/s, arrondir à l’unité la plus proche)

La raideur des ressorts vaut (en N/m, arrondir à l’unité la plus proche)

La distance a vaut (en mètres, deux chiffres après la virgule)

Pour des pulsations inférieures à 10 rad/s, la vitesse de phase est environ égale à (en m/s, arrondir à un chiffre après la virgule)

A faible pulsation, le milieu peut être considéré comme peu

Etude d’une impulsion

Vibrations de masses liées élastiquement

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