Travail, puissance et énergie en mécanique du point

Fiche résumé de cours introduisant les notions de travail, de puissance, d’énergies cinétique, potentielle et mécanique dans le cadre de la mécanique du point.

mercredi 28 novembre 2007, par Xavier Ducros

Sommaire

Pour mettre en application le contenu de cette fiche, vous pouvez faire le problème sur le pendule simple ou le QCM sur le travail en mécanique.

Puissance d’une force

La puissance d’une force $\overrightarrow{f}$ qui s’exerce sur un point matériel M, de vitesse $\overrightarrow{v}$ dans le référentiel d’étude, est

$P=\overrightarrow{f}.\overrightarrow{v}$

C’est une grandeur algèbrique qui s’exprime en watts (W).

alors la force est motrice.

alors la force est résistante.

Travail d’une force

Le travail élémentaire $\delta W$ de la force $\overrightarrow{f}$ entre deux instants t et t+dt est $\delta W=P dt$ . En introduisant le déplacement élémentaire $d\overrightarrow{r}$ effectué par M pendant dt, on obtient

$\delta W=\overrightarrow{f}.d\overrightarrow{r}$

C’est une grandeur algèbrique qui s’exprime en joules (J).

Entre deux points A et B, le travail de la force est

$W_{AB}(\overrightarrow{f})=\int_{AB}\delta W$

Cette intégrale dépend du chemin suivi par M pour aller de A à B.

Le travail d’une force dépend (généralement) du chemin suivi par M.

Remarques :
la puissance et le travail dépendent du référentiel ;
la puissance et le travail sont additifs ;
une force orthogonale au déplacement en travaille pas (réaction normale d’un support, tension du fil dans un pendule simple…)
dans le cas d’une force constante (le poids par exemple)

$W_{AB}=\overrightarrow{f}.\overrightarrow{AB}$

et le travail ne dépend pas du chemin suivi.

Théorème de l’énergie cinétique

L’énergie cinétique d’un point matériel M de masse m et de vitesse $\overrightarrow{v}$ dans le référentiel d’étude est

$E_c=\frac{1}{2}mv^2$

Elle dépend du référentiel et s’exprime en J.

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse constante, le théorème de la puissance cinétique [1] s’écrit

$\frac{d E_c}{d t}=P$

où

est la puissance des forces qui s’exercent sur M.

On en déduit alors le théorème de l’énergie cinétique sur un déplacement élémentaire

$d E_c=\delta W$

Sur un trajet AB, il suffit d’intégrer la relation précédente

$E_c(B)-E_c(A)=W_{AB}(\overrightarrow{f})$

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique entre deux points A et B, d’un point matériel M de masse constante, dans un référentiel galiléen, est égale au travail des forces appliquées sur le trajet entre A et B.

Energie potentielle

Une force est dite conservative s’il existe une fonction de la position uniquement, appelée énergie potentielle , telle que le travail élémentaire de cette force puisse s’écrire

$\delta W=-d E_p$

Dans ce cas, le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des points de départ et d’arrivée

$W_{AB}=\int_{AB}\delta W=-\int_{AB} d E_p=E_p(A)-E_p(B)$

Remarques :
le travail d’une force conservative le long d’une courbe fermée est nul ;
l’énergie potentielle est toujours définie à une constante près ;

A une dimension x

$\overrightarrow{f}=-\frac{d E_p}{d x}\overrightarrow{u}_x$

et de manière générale

$\overrightarrow{f}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}E_p$

On dit que la force dérive d’une énergie potentielle.

Exemples de forces conservatives :
le poids : si on choisit un axe Oz ascendant alors

$E_p(z)=mgz+\mathrm{cste}$

avec

la masse du système et

le champ de pesanteur supposé constant. Si l’axe est descendant, le signe devant

change.

la force de rappel d’un ressort de raideur k et de longueur à vide

$E_p(l)=\frac{1}{2}k(l-l_0)^2+\mathrm{cste}$

Energie mécanique

Toujours dans un référentiel galiléen, on suppose que M est soumis à des forces conservatives, qui dérivent de , et à des forces non conservatives.

On définit l’énergie mécanique

par

Le théorème de la puissance mécanique est (dans un référentiel galiléen)

$\frac{d E_m}{d t}=P_{nc}$

où $P_{nc}$ est la puissance des forces non conservatives.

Le théorème de l’énergie mécanique s’obtient en intègrant la relation précédente

$\Delta E_m = W_{nc}$

C’est-à-dire que, dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie mécanique sur un trajet donné est égale au travail des forces non conservatives.

Si toutes les forces sont conservatives, ou que les forces non conservatives ne travaillent pas, l’énergie mécanique est constante : c’est une intégrale première du mouvement [2].

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Notes

[1] il s’obtient facilement en multipliant le principe fondamental de la dynamique scalairement par $\overrightarrow{v}$

[2] elle ne dépend que de la position et de sa dérivée première, la vitesse

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