Résumé de cours de thermodynamique

Résumé synthétique de toutes les notions fondamentales apparaissant dans le cours de thermodynamique et qu’il faut connaître.

samedi 17 novembre 2007, par François Vandenbrouck

Le rendement d’un moteur de Carnot s’écrit : $\eta_C=1-\frac{T_f}{T_c}$ .

Le moteur de Carnot n’a pas d’existence réelle : sa puissance est nulle car le cycle est parcouru en une durée infinie.

Un fluide est un milieu continu qui peut s’écouler.	Deux états fluides : l’état gazeux et l’état liquide.	Le gaz est compressible alors que le liquide ne l’est pas (ce qui se traduit par une masse volumique constante).
Pression dans un fluide	$d\vec{F}=-P(M)\vec{n}dS$	La pression est un scalaire positif, l’unité de pression dans le système international est le pascal (Pa).
	Les forces de pression s’exerçant sur un volume $d\tau$ peuvent s’écrirent sous la forme : $d\vec{F}=-\vec{\text{grad}}P\,d\tau$ .	Les forces de pression sont équivalentes à une distribution volumique de forces.
	Si l’on fait abstraction des phénomènes de tension superficielle, la pression est continue à l’interface entre deux fluides	La surface libre d’un liquide est une isobare (surface de pression uniforme).
Relation fondamentale de la statique des fluides	$-\vec{\text{grad}}P+\vec{f}_{\text{vol}}=\vec{0}$	$\vec{f}_{\text{vol}}$ sont les forces volumiques. En référentiel non galiléen, on doit tenir compte des forces volumiques d’inertie d’entraînement qui s’écrivent $-\mu\vec{a}_{\text{e}}$
Relation fondamentale de la statique des fluides	Fluide au repos dans le champ de pesanteur : $\vec{\text{grad}}P=\mu\vec{g}$	Dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur, la pression est uniforme dans tout plan horizontal.
Théorème d’Archimède	La résultante des forces de pression exercées par un fluide au repos sur un corps est égale à une force unique, appelée poussée d’Archimède égale à l’opposé du poids du volume liquide déplacé par le corps.	Le volume de fluide déplacé est égal au volume du corps immergé dans le fluide. La poussée d’Archimède est toujours orientée vers le haut, dans le sens opposé à l’accélération de la pesanteur. La poussée d’Archimède s’applique au centre de masse du liquide déplacé, que l’on appelle centre de poussée.
Système thermodynamique	C’est l’ensemble des corps situés à l’intérieur d’une frontière.	Que la frontière soit réelle ou imaginaire, ce sont ses propriétés (rigide ou déformable, imperméable à tel ou tel transfert) qui vont conditionner la nature des transformations subies par un système thermodynamique. Les échanges du système thermodynamique avec ce qui constitue son milieu extérieur se font à travers sa frontière.
Système ouvert, fermé et isolé	Un système ouvert peut échanger de la matière, et donc de l’énergie, avec l’extérieur. Un système fermé ne peut pas échanger de matière avec l’extérieur : sa masse est constante. Un système isolé ne peut échanger ni matière ni énergie avec l’extérieur.
Variable d’état, équation d’état	L’état d’équilibre d’un système est défini par l’ensemble de ses caractéristiques à l’échelle macroscopique, décrites par un ensemble fini et réduit de variables appelées variables d’état. Toute relation liant les variables d’état d’un système à l’équilibre thermodynamique est appelée équation d’état. Pour le gaz parfait : .
Grandeurs extensives et intensives	Les grandeurs extensives sont relatives au système entier et sont additives lors de la réunion de deux systèmes disjoints. Les grandeurs intensives sont définies en un point d’un système et sont indépendantes de la quantité de matière.	Exemples de grandeurs extensives : masse, volume, quantité de matière, charge électrique, énergie. Exemples de grandeurs intensives : pression, température, masse volumique, concentration, potentiel électrostatique.
Bilans de grandeurs extensives	Pour une grandeur extensive quelconque, notée , sa variation peut se mettre sous la forme : $\Delta X = X_{\text{ech}}+X_{\text{prod}}$	$X_{\text{ech}}$ correspond aux échanges de à travers la frontière du système. Par convention, on compte positivement ce qui est effectivement reçu par le système. $X_{\text{prod}}$ correspond à la production de au sein-même du système. Sous forme différentielle : $d X=\delta X_{\text{ech}}+\delta X_{\text{prod}}$ . Une grandeur extensive est dite conservative si le terme de production $X_{\text{prod}}$ est nul en toute circonstance.
Coefficients thermoélastiques	Coefficient de dilatation isobare : $\alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ Coefficient de compressibilité isotherme : $\chi_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ $\beta=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$	Ces coefficients peuvent être mesurés expérimentalement. Leur connaissance permet d’obtenir une expression approchée de l’équation d’état du fluide au voisinage d’un état d’équilibre du fluide.
Transformation thermodynamique	Une transformation thermodynamique est l’évolution d’un système entre une état d’équilibre initial et un état d’équilibre final, en suivant un certain chemin.	C’est une modification des contraintes extérieures qui s’exercent sur le système, qui le pousse à évoluer.
Transformation quasistatique	Une évolution est quasistatique si, à chaque instant, les paramètres intensifs du système sont uniformes.	Une transformation infinitésimale est quasistatique. Une trnasformation quasistatique est une suite d’évolutions infinitésimales. Une transformation quasistatique est une évolution suffisamment lente pour que le système puisse à chaque instant atteindre un état où ses paramètres intensifs sont uniformes (état d’équilibre interne). Autrement dit, une transformation est quasistatique si la durée de cette évolution est largement supérieure aux temps caractéristiques de relaxation des paramètres intensifs.
Transformation réversible	Une transformation réversible est une transformation quasistatique telle qu’à chaque instant, le système soit en équilibre avec le milieu extérieur.	Une transformation réversible est un cas limite idéal. Une transformation quasistatique est réversible s’il est possible d’en inverser le cours par une modification infiniment petite des contraintes extérieures.
Transformations particulières	Isotherme : la température du système reste constante. Isobare : la pression du système reste constante. Isochore : le volume du système reste constant. Adiabatique : le système ne reçoit aucun transfert thermique de l’extérieur. Monotherme : la température du milieu extérieur reste constante. Monobare : la pression du milieu extérieur reste constante.	Attention ! Une erreur classique est de confondre les transformations isotherme et adiabatique. Pour qu’une transformation soit isotherme, il est nécessaire que le système puisse échanger de l’énergie sous forme thermique avec l’extérieur afin de garder sa température constante.
Energie interne	$U=E_{c\,\text{micro}}+E_{p\,\text{int}}$	À distinguer de l’énergie mécanique : $E_m=E_{c\,\text{macro}}+E_{p\,\text{int}}+E_{p\,\text{ext}}$ .
Premier principe	Pour tout système thermodynamique, on postule l’existence d’une fonction d’état, extensive, appelée énergie interne et notée , telle que sa variation entre deux états d’équilibre vérifie la relation : $\Delta U+\Delta E_{c\,\text{macro}}+\Delta E_{P\,\text{ext}}=W+Q$	Dans le cas d’un système macroscopique au repos, et d’énergie potentielle constante, le bilan énergétique se réduit à : $\Delta U = W+ Q$ L’énergie totale d’un système est une grandeur conservative : elle ne varie que par échanges avec l’extérieur. Le travail et le transfert thermique sont les deux modes d’échange d’énergie. L’énergie totale d’un système ne saurait être produite. On dit souvent que le premier principe est un principe de conservation de l’énergie totale.
Quelques propriétés	L’énergie interne est par définition une fonction d’état. Sa variation est donc indépendante du chemin suivi. Une transformation est dite cyclique si l’état final est le même que l’état initial. Au cours d’une transformation cyclique, la variation d’énergie interne est nulle. Pour une transformation infinitésimale, le bilan d’énergie se met sous la forme : $d U+d E_{c\,\text{macro}}+d E_{P\,\text{ext}}=\delta W+\delta Q$	Attention, et dépendent, eux, du chemin suivi !
Travail des forces de pression	Par définition : $W=-\int P_\text{ext}d V$ Lorsque la transformation est réversible : $P=P_\text{ext}$ à tout instant et $W=-\int P dV$ .	$P_\text{ext}$ correspond à la pression que le milieu extérieur exerce sur la frontière (déformable) du système. Attention, pour calculer , il faut savoir comment $P_\text{ext}$ ou dépend de : il faut donc connaître la nature de la transformation, soit le chemin suivi.
Enthalpie		L’enthalpie est une fonction d’état. Elle est homogène à une énergie et s’exprime en joules dans le système international.
Premier principe pour un écoulement permanent	Lorsqu’un fluide est en écoulement permanent à travers un élément d’une machine, on peut écrire le bilan énergétique suivant : $\Delta H+\Delta E_{c\,\text{macro}}+\Delta E_{p\,\text{ext}}=W'+Q$	est le travail utile ou indiqué. Il représente tous les travaux à l’exception du travail des forces de pression nécessaire à l’admission et au refoulement du fluide dans l’élément considéré. Bien souvent, le travail utile est le travail reçu de la part des parties mobiles de la machine traversée.
Changement d’état	On appelle chaleur latente de changement d’état ou encore enthalpie massique de changement d’état, l’énergie à apporter sous forme thermique à l’unité de masse d’un corps pur pour le faire totalement changer d’état à température et pression constante.	Le bilan énergétique associé à un changement d’état s’écrit : $\Delta H=m\ell$ où $\ell$ est la chaleur latente de changement d’état.
Diagramme de Clapeyron	Il s’agit d’une représentation des transformations subies par le système dans un système d’axes : pression et volume massique .	L’aire d’un cycle en diagramme de Clapeyron est $\abs{W_\text{cycle}}$ . Lorsque le cycle est parcouru dans le sens horaire, $W_\text{cycle}$ est négatif.
Capacités thermiques	Capacité thermique à volume constant : $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ . Capacité thermique à pression constante : $C_P=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$ .	La capacité thermique s’exprime en $\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ . C’est une grandeur extensive. Les capacités thermiques molaire et massique, notées respectivement $C_{Vm}$ et (ou $C_{Pm}$ et ), sont intensives. Pour une phase condensée, $C_V\approx C_P\approx C$ , capacité thermique.
Relation de Mayer	Pour moles de gaz parfait : .
Coefficient isentropique du gaz parfait	$\gamma=\frac{C_P}{C_V}$	Pour un gaz parfait monoatomique $\gamma=\frac{5}{3}$ ; pour un gaz diatomique $\gamma=\frac{7}{5}=1,40$ . On peut montrer : $C_{Vm}=\frac{R}{\gamma-1}$ et $C_{Pm}=\frac{\gamma R}{\gamma -1}$ .
Lois de Joule	Première loi de Joule : l’énergie interne du système ne dépend que de sa température. Seconde loi de Joule : l’enthalpie du système ne dépend que sa température.	Le gaz parfait est le seul fluide à suivre les deux lois de Joule.
Détenes de Joule-Gay Lussac et Joule-Kelvin	La détente de Joule-Gay Lussac est une détente adiabatique dans le vide. Elle se fait à énergie interne constante. La détente de Joule-Kelvin, ou Joule-Thomson, est une détente adiabatique qui se réalise en régime stationnaire dans une conduite horizontale à travers un milieu poreux. Elle se fait à enthalpie constante.	Un gaz parfait subissant une détente de Joule-Gay Lussac garde une température constante. Un gaz parfait subissant une détente de Joule-Kelvin garde une température constante.
Irréversibilité	Les transformations réelles d’un système isolé ont un sens d’évolution qui correspond au sens d’évolution du temps. Filmées puis projetées à l’envers, de telles transformations apparaitraient impossibles. De telles évolutions sont dites irréversibles.	Les causes d’irréversibilités sont les phénomènes dissipatifs ou la non uniformité des grandeurs intensives (le système est alors loin de l’équilibre).
Second principe	Pour tout système thermodynamique, on postule l’existence d’une fonction d’état, appelée entropie et notée , telle que sa variation entre deux états d’équilibre du système vérifie la relation : $\Delta S=S_{\text{ech}}+S_{\text{prod}}$ avec $S_{\text{ech}}=\int\frac{\delta Q}{T_s}$ et $S_{\text{prod}}\geq 0$ .	Dans l’expression du terme d’échange $S_{\text{ech}}=\int\frac{\delta Q}{T_s}$ , désigne la température de la source qui fournit au système le transfert thermique $\delta Q$ . L’égalité $S_{\text{prod}}=0$ correspond au cas limite d’une transformation réversible. Comme l’entropie est une fonction d’état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. Il n’en est pas de même pour les termes d’échange et de production qui dépendent, eux, du chemin suivi. Pour une transformation cyclique, $\Delta S=0$ . L’entropie d’un système thermiquement isolé ( $S_{\text{ech}}=0$ ) ne peut que croître. L’entropie d’un système peut être produite au sein du système par irréversibilité, ce n’est donc pas une grandeur conservative. Souvent, on dit que le second principe est un principe d’évolution.
Identités thermodynamiques	Pour un fluide pur : et .	Les identités thermodynamiques permettent d’exprimer et d’en déduire, par intégration, la variation d’entropie $\Delta S$ du système.
Température et pression thermodynamiques	Température thermodynamique : $T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V$ . Pression thermodynamique : $P=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S$ .	Ces grandeurs sont définies pour un système à l’équilibre (au moins localement).
Entropie du gaz parfait	$dS=nR\left(\frac{1}{\gamma-1}\frac{d T}{T}+\frac{dV}{V}\right)$ Après intégration : $S(T,V)=S(T_0,V_0)+\frac{nR}{\gamma-1}\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}$	En variables : $dS=nR\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{d T}{T}-\frac{dP}{P}\right)$ . En variables : $dS=\frac{nR}{\gamma-1}\left(\frac{d P}{P}+\gamma\frac{dV}{V}\right)$ .
Loi de Laplace	$PV^\gamma=\text{cste}$	Hypothèses de validité : gaz parfait, $\gamma$ constant, évolution adiabatique et réversible (c’est-à-dire isentropique). Dans le diagramme de Clapeyron, le rapport entre la pente d’une isentropique en un point et la pente d’une isotherme en ce même point vaut $\gamma>1$ .
Entropie d’une phase condensée	$dS=C\frac{dT}{T}$	$\Delta S=C\int_{T_1}^{T_2}C\frac{dT}{T}$ et $\Delta S=C\ln\frac{T_2}{T_1}$ si ne dépend pas de .
Variation d’entropie lors d’un changement d’état	$d S=dm \frac{\ell}{T}$	est la température de changement d’état.
Source de chaleur ou thermostat	Une source de chaleur ou thermostat est un système capable d’échanger de l’énergie sous forme thermique en gardant une température constante .	En pratique, un thermostat est un corps de capacité thermique très largement supérieure à la capacité thermique du système. D’un point de vue théorique, un thermostat est une réservoir d’entropie. Lorsqu’un système échange de l’entropie avec un thermostat de température , l’entropie d’échange s’écrit : $S_{\text{ech}}=\frac{Q}{T_0}$ où correspond au transfert thermique reçu du thermostat pâr le système.
Machine thermique	L’intérêt d’une machine thermique est qu’elle permet une conversion d’énergie. Pour assurer un fonctionnement continu en régime permanent (ou stationnaire), le fluide contenu dans la machine thermique subit des évolutions cycliques. Les transformations que subit le fluide sont liées aux échanges énergétiques entre la machine et l’extérieur.	Une machine thermique est un moteur si elle fournit du travail au milieu extérieur : le travail total reçu par le fluide au cours d’un cycle est alors négatif. Par opposition, on qualifie de réceptrice une machine thermique qui reçoit du travail. C’est le cas des machines frigorifiques, climatiseurs et autres pompes à chaleur. Les transferts thermiques d’une machine ditherme avec l’extérieur se font avec deux sources de chaleur : une source chaude de température et une source froide de température .
Bilan énergétique	Pour un cycle $W+\sum_i Q_i=0$ .	Les transferts thermiques se font avec des sources de températures .
Inéglité de Clausius	$\sum_i\frac{Q_i}{T_i}\leq 0$ .	Il en découle qu’un moteur monotherme ne peut pas exister.
Coefficient opérationnel de performance	Le coefficient opérationnel de performance d’une machine thermique est défini comme le rapport de l’énergie utile à l’énergie coûteuse.	Pour un moteur, le coefficient opérationnel de performance est appelé rendement. Pour les machines réceptrices, il est appelé efficacité.
Théorème de Carnot	Toutes les machines dithermes réversibles ont le même coefficient opérationnel de performance qui ne dépend que des températures des sources. Les performances de la machine irréversible sont inférieures aux performances de la machine réversible.
Cycle de Carnot	Le cycle de Carnot est le cycle ditherme réversible. Il est constitué (en alternance) de deux isothermes reliées par deux isentropiques (adiabatiques réversibles).

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