Portrait de phase d’un pendule simple (correction)

Correction du problème sur l’étude du portrait de phase et du mouvement d’un pendule simple. Les questions sont rappelées en gras.

dimanche 25 mars 2007, par Xavier Ducros

Calculer l’énergie mécanique du pendule. Son énergie mécanique est . Or $v=L\dot{\theta}$ et la seule force qui travaille est le poids (la tension de la tige est orthogonale au mouvement), donc $E_p=mgL(1-\cos \theta)$ en prenant l’origine de l’énergie potentielle en $\theta=0$ . D’où
$E_m=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2+mgL(1-\cos \theta)$
On lâche le pendule d’un angle $\theta_0$ faible, sans vitesse initiale.
1. Calculer $\theta(t)$ . Le système est conservatif (le poids est une force conservative, et la tension ne travaille pas), donc l’énergie mécanique est constante. Donc $\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t}=0$ . On obtient facilement ( $\dot{\theta}\neq 0$ puisqu’il y a mouvement)
  $\ddot{\theta}+\frac{g}{L}\sin \theta=0$
  En utilisant la pulsation propre $\omega_0=\sqrt{g/L}$ et en supposant $\sin \theta \approx \theta$ (petits angles), l’équation devient
  $\ddot{\theta}+\omega_0^2\theta=0$
  C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation $\omega_0$ . Les solutions sont de la forme $\theta(t)=A \cos (\omega_0t+\varphi)$ . Les conditions initiales donnent $A=\theta_0$ et $\varphi=0$ , donc
  $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_0t)$
2. Vérifier l’allure sur la simulation et mesurer $\omega_0$ . La solution a bien une allure sinusoïdale. On mesure une période de T=5 secondes, donc $\omega_0=\frac{2\pi}{T}=1,25$ rad/s.
3. Quelle est la trajectoire de phase correspondante ? Dans le cas des petites oscillations $\cos\theta \approx 1-\frac{\theta^2}{2}$ . L’énergie mécanique peut donc s’écrire
  $E_m=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2+mgL\frac{\theta^2}{2}$
  On en déduit facilement que
  $\frac{\dot{\theta}^2}{\omega_0^2}+\theta^2=\frac{2E_m}{mgL}$
  Comme l’énergie mécanique est constante, on reconnaît, avec les coordonnées choisies $\left(\theta,\frac{\dot{\theta}^2}{\omega_0^2}\right)$ , l’équation d’un cercle centré en 0 et de rayon $\sqrt{\frac{2E_m}{mgL}}$ . Sur la simulation, on observe bien des trajectoires de phase circulaires pour de petits angles.
Comment se transforme la trajectoire de phase précédente lorsque l’amplitude augmente ? Dans ce cas l’approximation angle faible n’est plus valable et des non linéarités apparaissent. Cela a pour conséquence de déformer les oscillations (elles ne sont plus harmoniques, on dit qu’elles sont anharmoniques), ainsi que la trajectoire de phase, qui n’est plus circulaire.

On lance le pendule depuis un angle nul et une vitesse angulaire $\dot{\theta}_0$ .
1. Le cas limite pour que le pendule fasse le tour correspond au cas où il arrive en haut avec une vitesse nulle. Il faut donc qu’il ait au moins l’énergie mécanique . Comme l’énergie mécanique initiale est purement cinétique et vaut $\frac{1}{2}mL^2 \dot{\theta}_0^2$ , la condition est
  $\frac{1}{2}mL^2 \dot{\theta}_0^2 \geq 2mgL$
  D’où
  $\dot{\theta}_0 \geq 2\omega_0$
2. Il faut donc que la vitesse angulaire initiale soit supérieure à 2,5 rad/s. C’est bien ce que l’on constate avec la simulation en réglant les conditions intiales : pour une vitesse initiale de 2,4 rad/s le pendule retombe, et pour 2,6 rad/s il fait le tour.
3. La trajectoire de phase n’est plus fermée (le mouvement n’est plus périodique). L’angle $\theta$ augmente constamment et la trajectoire de phase oscille autour de $\dot{\theta}_0$ .

Cas avec amortissement

Peut-on considérer l’angle faible ? D’après la simulation, on constate que le portrait de phase est circulaire pour les conditions initiales données, donc l’approximation harmonique peut être considérée comme valable.
Le coefficient d’amortissement est choisi égal à 3.
1. Quel est le régime d’amortissement ? Le facteur de qualité est plus petit que 0,5 (il vaut 0,42), donc le régime est apériodique, ce que l’on peut vérifier sur la simulation.
2. Justifier l’allure du portrait de phase. Le système relaxe vers la position d’équilibre stable $(\theta=0,\dot{\theta}=0)$ sans osciller.
On suppose maintenant que le coefficient d’amortissement est de 0,1.
1. Quel est le régime d’amortissement ? Donner la forme des solutions $\theta(t)$ . Le facteur de qualité vaut 12,5. Comme il est plus grand que 0,5, le régime est pseudo-périodique. Les solutions sont de la forme
  $\theta(t)=A \exp(-\lambda t) \cos (\omega t + \varphi)$
  avec $A,\varphi$ des constantes déterminées par les conditions initiales et $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$ la pseudo-pulsation.
2. Combien vaut le facteur de qualité ? En déduire que l’on peut négliger le coefficient d’amortissement devant la pulsation propre. Le facteur de qualité vaut 12,5, ce qui est grand devant un. D’après la définition de Q on en déduit $\omega_0 \gg 2 \lambda$ . A fortiori
  $\omega_0 \gg \lambda$
3. Simplifier l’expression de l’énergie mécanique dans le cas des petits angles, et en utilisant l’approximation précédente. Dans le cas des petits angles, on a montré que
  $E_m=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2+mgL\frac{\theta^2}{2}$
  D’après l’expression de $\theta(t)$ on obtient
  $\dot{\theta}(t)=A \exp(-\lambda t) \left( \omega \sin (\omega t + \varphi) - \lambda \cos (\omega t + \varphi)\right$
  Or $\lambda \ll \omega_0$ donc $\omega \approx \omega_0$ et
  $\dot{\theta}(t) \approx A \exp(-\lambda t) \omega_0 \sin (\omega_0 t + \varphi)$
  D’où
  $E_m=\frac{1}{2}mL^2 A^2 \exp(-2\lambda t) \omega_0^2 \sin^2 (\omega_0 t + \varphi) + mgL\frac{1}{2}A^2 \exp(-2\lambda t)\cos^2 (\omega_0 t + \varphi)$
  D’après l’expression de $\omega_0$ , on peut simplifier l’expression en
  $E_m=\frac{1}{2}mgL A^2 \mathrm{e}^{-2\lambda t}$
  d’où $B=\frac{1}{2}mgL A^2$ et $\tau=-\frac{1}{2\lambda}$ . Sur la simulation on constate bien une décroissance de l’énergie mécanique d’allure exponentielle, mais avec quelques petites oscillations autour, dues aux approximations effectuées. Elle décroît avec une constante de temps moitiée de celle des oscillations.
4. Combien d’oscillations observe-t-on ? Comparer à la valeur du facteur de qualité. On compte environ 15 oscillations, ce qui est du même ordre de grandeur que le facteur de qualité.

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