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Portrait de phase d’un pendule simple

samedi 24 mars 2007, par Xavier Ducros
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Difficulté : 1,9/3

Problème sur l’étude du portrait de phase et du mouvement d’un pendule simple. Certaines questions nécessitent d’agir directement avec la simulation qui modélise le système étudié. Cette étude classique permet de mettre en oeuvre de nombreux points du cours de mécanique.

Ce problème propose d’étudier le mouvement d’un pendule simple, rigide et de longueur L. On étudie le mouvement d’une masse m suspendue à une tige supposée sans masse. On repère sa position par l’angle \theta qu’il fait avec la verticale. En plus de son poids (on note g le champ de pesanteur), la masse est soumise à une force de frottement fluide du type \overrightarrow{f}=-\alpha \overrightarrow{v} où \alpha \geq 0 est le coefficient de frottement.

Dans la suite, on note \omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}} la pulsation propre, \lambda=\frac{\alpha}{2m} le coefficient d’amortissement (voir simulation) et Q=\frac{\omega_0}{2\lambda} le facteur de qualité.

La simulation suivante résoud numériquement l’équation du mouvement et permet de tracer \theta(t), E_m(t) (énergie mécanique) et les trajectoires de phase \frac{\dot{\theta}}{\omega_0}=f(\theta}).

Toute l’étude se fait dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

Etude du cas sans amortissement

On suppose que le mouvement se fait sans amortissement.

  1. Calculer l’énergie mécanique du pendule.
  2. On lâche le pendule d’un angle \theta_0 faible, sans vitesse initiale.
    1. Calculer \theta(t).
    2. Vérifier l’allure sur la simulation et mesurer \omega_0.
    3. Quelle est la trajectoire de phase correspondante ?
  3. Comment se transforme la trajectoire de phase précédente lorsque l’amplitude augmente ? Que remarquez-vous sur la forme des oscillations \theta(t) ?
  4. On lance le pendule depuis un angle nul et une vitesse angualire \dot{\theta}_0.
    1. Quelle est la condition sur \dot{\theta}_0 pour que le mouvement soit révolutif ? On rappelle que le pendule est supposé rigide.
    2. Faire l’application numérique dans le cas de la simulation et vérifier le résultat obtenu sur la simulation.
    3. Quelle est l’allure de la trajectoire de phase dans ce cas ?

Etude du cas avec amortissement fluide

On lance le pendule depuis un angle de 0,5 rad et avec une vitesse initiale nulle.

  1. Peut-on considérer l’angle faible ? On pourra s’aider de la simulation.
  2. Le coefficient d’amortissement est choisi égal à 3.
    1. Quel est le régime d’amortissement ?
    2. Justifier l’allure du portrait de phase.
  3. On suppose maintenant que le coefficient d’amortissement est de 0,1.
    1. Quel est le régime d’amortissement ? Donner la forme des solutions \theta(t).
    2. Combien vaut le facteur de qualité ? En déduire que l’on peut négliger le coefficient d’amortissement devant la pulsation propre.
    3. Simplifier l’expression de l’énergie mécanique dans le cas des petits angles, et en utilisant l’approximation précédente. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme E_m=B\exp(-t/\tau). Donner les expressions de B et \tau. Comparer à la simulation.
    4. Combien d’oscillations observe-t-on ? Comparer à la valeur du facteur de qualité.

Accéder au corrigé.

Quel est selon vous le niveau de cet exercice ?
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