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Petit défi janvier-février 2010

mardi 23 septembre 2008, par Xavier Ducros

Ce défi consistait à évaluer la taille maximale que pourrait avoir une montagne sur la Lune (si son activité géologique le permettait…). On néglige l’érosion.

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Ce défi est clos.

Considérons une montagne cylindrique (ou parallélépipédique) de hauteur H et dont la base a une surface S ; la masse volumique moyenne de la roche est notée $\rho$ , et g est le champ de pesanteur (supposé constant). Imaginons que l’on ajoute une couche, d’épaisseur $e\ll H$ , de roche au sommet : cela augmente de $\rho S e g H$ l’énergie potentielle de pesanteur de la montagne (on ajoute une masse $\rho S e$ à la hauteur H). Mais, du fait de la masse très importante de roche qui la surplombe, la base de la montagne est soumise à des contraintes mécaniques très grandes qui peuvent conduire à la fusion de la roche de la base, et donc à un affaissement de la montagne, qui ne peut plus grandir. L’énergie que coûte la fusion d’une couche de roche d’épaisseur e à la base est $\rho S e L_f$ avec l’enthalpie massique de fusion de la roche. Il est possible d’augmenter la taille de la montagne (sans entraîner de fusion à la base) par ajout d’une couche d’épaisseur e tant qu’il est moins couteux d’augmenter l’énergie potentielle de pesanteur que de faire fondre de la roche à la base, donc tant que $\rho S e g H < \rho S e L_f$ . Ainsi :

$H_\mathrm{max}=\frac{L_f}{g}$

est de l’ordre de quelques centaines de kJ par kg de roche, disons 500 kJ $\cdot$ kg $^{-1}$ . Quant à g, sur la Lune, il vaut environ 1,6 m $\cdot$ s $^{-2}$ . Finalement $H_\mathrm{max}\approx 300$ km. La bonne réponse était donc de l’ordre de 100 km.

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