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Oscillations forcées

dimanche 25 mars 2007, par François Vandenbrouck

Une masse liée à un ressort constitue l’exemple typique de l’oscillateur harmonique. Ce problème est consacré à l’étude du mouvement de la masse lorsque l’autre extrémité du ressort est animée d’un mouvement sinusoïdal.

Dans la partie supérieure du schéma animé qui suit, vous pouvez observer le mouvement de la masse ainsi qu’une représentation graphique de l’amplitude des oscillations forcées de la masse (amplitude de la masse rapportée à l’amplitude de l’excitation). Le point figuratif bleu correspond au cas étudié. Dans la partie inférieure est tracée l’évolution temporelle de l’abscisse de la masse. Y figure aussi une représentation graphique de la différence de phase entre les oscillations de la masse et l’excitation. Le point figuratif bleu correspond au cas étudié.

Enfin, sous la simulation, vous pouvez choisir les valeurs du coefficient de frottement et la fréquence réduite (égale au rapport de la fréquence de l’excitation à la fréquence propre de l’oscillateur).

On considère un ressort horizontal à spires non jointives dans son domaine de linéarité. Il est caractérisé par une constante de raideur k, et un corps M, de masse m, est accroché à son extrémité droite. L’étude mécanique est faite dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen et les déplacements envisagés sont horizontaux. On utilise les notations suivantes :

$\vec{e}_x$ , vecteur unitaire définissant la direction de l’axe x’x ;
$\omega_0^2=k/m$ .

On impose à l’extrémité gauche du ressort le déplacement $X(t)\vec{e}_x=a\cos\omega t\vec{e}_x$ , a et $\omega$ étant des constantes.

Oscillations forcées avec frottement

Le corps M est aussi soumis à une force de frottement de la forme $\vec{F}=-h\vec{v}$ .

Donner la dimension du coefficient de frottement h.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement de M et montrer que la prise en compte de la sollicitation extérieure revient à introduire dans le bilan des forces caractéristique des oscillations libres un terme supplémentaire F_sup que l’on exprimera en fonction de k et X(t).
Déterminer l’expression de l’amplitude des oscillations forcées, $x_0(\omega)$ , en fonction des différents paramètres. Comparer le résultat obtenu à la courbe tracée dans la simulation ci-dessus.
Déterminer aussi l’expression de la différence de phase entre le mouvement du corps M et l’excitation. Comparer le résultat obtenu à la courbe tracée dans la simulation ci-dessus. Pour quelles valeurs de la pulsation excitatrice, ou dans quelle limite, l’élongation du corps M est-elle respectivement en phase, en quadrature de phase et en opposition de phase avec l’excitation ? [1]

Oscillations forcées sans frottement : étude énergétique

On suppose dans cette partie que le coefficient de frottement h est nul.

Que devient dans cette hypothèse l’équation différentielle du mouvement ?
On s’intéresse au cas .
1. Donner la solution de l’équation différentielle avec les conditions initiales x(0)=0, v(0)=0, où v désigne la vitesse du corps M. Mettre le résultat sous la forme du produit de deux fonctions trigonométriques dont on exprimera les pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ ( $\omega_1>\omega_2$ ) en fonction de $\omega$ et $\omega_0$ .
2. À l’aide de la simulation, visualiser l’allure de la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t pour $\omega=1,2\,\omega_0$ , définir et déterminer la période des battements.
3. Exprimer la variation d’énergie mécanique par unité de temps. L’énergie se conserve-t-elle ? Augmente-t-elle ? Diminue-t-elle ? Varie-t-elle en moyenne ?
On s’intéresse au cas .
1. Déterminer la solution de l’équation différentielle du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment par passage à la limite $\omega\to\omega_0$ de la solution précédemment obtenue.
2. Tracer la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t [2]. Donner l’équation des deux demi-droites enveloppes de la courbe.
3. Quel est le phénomène mis ainsi en évidence ? Qu’est-ce qui en limite l’acuité dans le réalité ? Illustrez votre réponse à l’aide de la simulation. Donner d’autres exemples d’un tel phénomène choisis dans d’autres domaines de la physique.
4. Déterminer l’expression de l’énergie mécanique et sa variation par unité de temps sur l’intervalle tel que $\sin\omega_0t=1$ et $T_0=2\pi/\omega_0$ . Conclure quant à la signification énergétique du phénomène.