Oscillations forcées (correction)

mercredi 28 mars 2007, par François Vandenbrouck

Dans la partie supérieure du schéma animé qui suit, vous pouvez observer le mouvement de la masse ainsi qu’une représentation graphique de l’amplitude des oscillations forcées de la masse (amplitude de la masse rapportée à l’amplitude de l’excitation). Le point figuratif bleu correspond au cas étudié. Dans la partie inférieure est tracée l’évolution temporelle de l’abscisse de la masse. Y figure aussi une représentation graphique de la différence de phase entre les oscillations de la masse et l’excitation. Le point figuratif bleu correspond au cas étudié.

Enfin, sous la simulation, vous pouvez choisir les valeurs du coefficient de frottement et la fréquence réduite (égale au rapport de la fréquence de l’excitation à la fréquence propre de l’oscillateur).

Les questions ont été reproduites en gras.

Oscillations forcées avec frottement

Le corps M est aussi soumis à une force de frottement de la forme $\vec{F}=-h\vec{v}$ .

Donner la dimension du coefficient de frottement h. Le coefficient h apparaît sous la forme d’une force rapportée à une vitesse. En termes d’équation aux dimensions cela s’écrit : $\left[ h\right]=\frac{MLT^{-2}}{LT^{-1}}=MT^{-1}$ . La dimension de h est celle d’une masse rapportée à un temps.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement de M et montrer que la prise en compte de la sollicitation extérieure revient à introduire dans le bilan des forces caractéristique des oscillations libres un terme supplémentaire F_sup que l’on exprimera en fonction de k et X(t). En absence de déplacement de l’extrémité gauche du ressort, l’allongement [1] du ressort est noté x(t). Si l’extrémité gauche se déplace d’une quantité X(t) positive (i.e. déplacement vers la droite), alors le ressort est raccourci de X(t) et son allongement devient x(t)-X(t). Par conséquent, les forces qui agissent sur le corps M sont :
son poids $m\vec{g}$ ;
la réaction du support $\vec{R}$ ;
la force de rappel élastique $\vec{T}=-k\left[x(t)-X(t)\right]\vec{e}_x$ ;
la force de frottement $\vec{F}=-h\vec{v}=-h\dot{x}\vec{e}_x$ . Le mouvement du corps M est unidimensionnel et son accélération s’écrit $\vec{a}=\ddot{x}\vec{e}_x$ . On écrit maintenant la deuxième loi de Newton : $m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{R}-k\left[x(t)-X(t)\right]\vec{e}_x-h\dot{x}\vec{e}_x\,.$ En projection sur l’axe (Ox) : $m\ddot{x}=-k\left[x(t)-X(t)\right]-h\dot{x}\,.$ On peut mettre cette équation différentielle sous forme canonique : $\ddot{x}+\frac{h}{m}\dot{x}+\omega_0^2 x=\omega_0^2 X(t)\,,$ où $\omega_0^2=k/m$ .
Déterminer l’expression de l’amplitude des oscillations forcées, $x_0(\omega)$ , en fonction des différents paramètres. Comparer le résultat obtenu à la courbe tracée dans la simulation ci-dessus. L’excitation étant sinusoïdale, on cherche une solution en régime forcé sous la forme d’une fonction sinusoïdale de même pulsation que l’excitation [2] : $x(t)=x_0(\omega)\cos(\omega t+\varphi)$ .

Signal réel Représentation complexe Amplitude complexe

$X(t)=a\cos(\omega t)$ $\underline{X}=a\mathrm{e}^{j\omega t}$ $\underline{X}_0=a$

$x(t)=x_0\cos(\omega t+\varphi)$ $\underline{x}=x_0\mathrm{e}^{j(\omega t+\varphi)}$ $\underline{x}_0=x_0\mathrm{e}^{j\varphi}$

Avec les amplitudes complexes, l’équation différentielle devient : $\left[\omega_0^2-\omega^2+j\frac{h\omega}{m}\right]\underline{x}_0=\omega_0^2 a\,.$ On en déduit l’amplitude des oscillations forcées : $x_0=\left|\underline{x}_0\right|=\frac{a}{\sqrt{\left(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^2+\frac{h^2\omega^2}{k^2}}}\,.$
Déterminer aussi l’expression de la différence de phase entre le mouvement du corps M et l’excitation. Comparer le résultat obtenu à la courbe tracée dans la simulation ci-dessus. Pour quelles valeurs de la pulsation excitatrice, ou dans quelle limite, l’élongation du corps M est-elle respectivement en phase, en quadrature de phase et en opposition de phase avec l’excitation ?Comme a est un réel positif, on a $\varphi=\mathrm{arg}(\underline{x}_0)$ , soit $\varphi=-\mathrm{arg}\left[1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+j\frac{h\omega}{k}\right]$ , ou encore $\varphi=\mathrm{arg}\left[1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}-j\frac{h\omega}{k}\right]$ . On en déduit que $\sin\varphi\leq 0$ , donc $-\pi\leq\varphi\leq 0$ et $\tan\varphi=\frac{h\omega}{k(\omega^2/\omega_0^2-1)}$ . La réponse et l’excitation sont en phase lorsque $\omega\to 0$ , en quadrature de phase lorsque $\omega=\omega_0$ et en opposition de phase lorsque $\omega\gg\omega_0$ .

Oscillations forcées sans frottement : étude énergétique

On suppose dans cette partie que le coefficient de frottement h est nul.

Que devient dans cette hypothèse l’équation différentielle du mouvement ? En l’absence de frottements, l’équation différentielle du mouvement est la suivante : $\ddot{x}+\omega_0^2 x=\omega_0^2 a\cos(\omega t)\,.$
On s’intéresse au cas $\omega\neq\omega_0$ .
1. Donner la solution de l’équation différentielle avec les conditions initiales x(0)=0, v(0)=0, où v désigne la vitesse du corps M. Mettre le résultat sous la forme du produit de deux fonctions trigonométriques dont on exprimera les pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ ( $\omega_1>\omega_2$ ) en fonction de $\omega$ et $\omega_0$ . La solution de l’équation différentielle précédente est la somme de la solution de l’équation homogène : $A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$ et d’une solution particulière : $\frac{a\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}\cos(\omega t)$ . La solution qui vérifie les conditions initiales imposées s’écrit : $x(t)=\frac{2a\omega_0^2}{\omega^2-\omega_0^2}\sin\omega_1 t\sin\omega_2 t\,,$ avec $\omega_1=\frac{\omega+\omega_0}{2}$ et $\omega_1=\frac{\omega-\omega_0}{2}$ .
2. À l’aide de la simulation, visualiser l’allure de la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t pour $\omega=1,2\,\omega_0$ , définir et déterminer la période des battements. La simulation montre une courbe sinusoïdale de pulsation la plus grande ( $\omega_1$ ) d’amplitude modulée sinusoïdalement. La durée qui s’écoule entre deux annulations successives de l’amplitude modulante est la période des battements, il s’agit d’une demi-période de la fonction modulante, soit : $T=\frac{\pi}{\omega_2}$ .
3. Exprimer la variation d’énergie mécanique par unité de temps. L’énergie se conserve-t-elle ? Augmente-t-elle ? Diminue-t-elle ? Varie-t-elle en moyenne ? L’énergie mécanique s’écrit : $E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$ . Après dérivation de cette expression par rapport au temps, on obtient : $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)$ , soit $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=ka\dot{x}\cos(\omega t)$ . Par ailleurs, en utilisant l’expression de $\dot{x}$ , on obtient : $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{ka^2\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}\left[\omega_0\sin(\omega_0 t)\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t)\right]$ Manifestement, l’énergie mécanique varie. On peut seulement affirmer qu’elle est nulle en valeur moyenne temporelle.
On s’intéresse au cas $\omega=\omega_0$ .
1. Déterminer la solution de l’équation différentielle du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment par passage à la limite $\omega\to\omega_0$ de la solution précédemment obtenue. Posons $\omega=\omega_0(1+\varepsilon)$ où $\varepsilon\to 0$ . On a alors, en se limitant à des termes du premier ordre en $\varepsilon$ : $\omega_0^2-\omega^2=-2\varepsilon\omega_0^2$ et $\cos\omega t=\cos(\omega_0 t)-\varepsilon\omega_0 t\sin\omega_0 t$ . On en déduit alors l’expression de la solution : $x(t)=\frac{1}{2}a\omega_0 t\sin(\omega_0 t)$ .
2. Tracer la courbe représentant les variations de x en fonction du temps t. Donner l’équation des deux demi-droites enveloppes de la courbe. Comme $\sin(\omega_0 t)$ varie entre +1 et -1, la courbe représentative de l’élongation x(t) reste comprise entre les deux demi-droites d’équation $x(t)=\pm\frac{1}{2}a\omega_0 t$ .
3. Quel est le phénomène mis ainsi en évidence ? Qu’est-ce qui en limite l’acuité dans le réalité ? Illustrez votre réponse à l’aide de la simulation. Donner d’autres exemples d’un tel phénomène choisis dans d’autres domaines de la physique. La croissance de l’élongation correspond au phénomène de résonance. Comme on peut le constater avec le schéma animé, l’existence de frottements peut limiter son acuité. Le phénomène de résonance est courant en physique : on le rencontre aussi bien en électrocinétique (résonance du circuit RLC) que, par exemple, en optique, dans les processus d’émission de la lumière (excitation résonante d’un atome par une onde électromagnétique), ou encore en acoustique (résonance d’un tube).
4. Déterminer l’expression de l’énergie mécanique et sa variation par unité de temps sur l’intervalle tel que $\sin\omega_0t=1$ et $T_0=2\pi/\omega_0$ . Conclure quant à la signification énergétique du phénomène. On trouve $E=\frac{1}{4}ka^2\left[\omega_0^2 t^2+\sin\omega_0t\left(\frac{1}{2}+\omega_0 t\cos\omega_0 t\right)\right]$ . La variation d’énergie mécanique sur une période s’écrit [3] : $\Delta E=\frac{\pi}{2}ka^2\omega_0 (2t+T_0)$ . L’énergie du système s’accroît après chaque période. À la résonance, en moyenne dans le temps, le système ne cesse de prélever de l’énergie au système excitateur.

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Notes

[1] On rappelle que l’allongement d’un ressort est la différence (algébrique !) de longueur entre un état quelconque du ressort et l’état où le ressort a sa longueur naturelle, ou longueur à vide.

[2] C’est la linéarité de l’équation différentielle qui lie la réponse x(t) à l’excitation X(t) qui nous pousse à choisir une réponse de même pulsation que l’excitation.

[3] Si t est tel que $\sin\omega_0 t=1$ , alors $\cos\omega_0 t=0$ .

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$X(t)=a\cos(\omega t)$	$\underline{X}=a\mathrm{e}^{j\omega t}$	$\underline{X}_0=a$
$x(t)=x_0\cos(\omega t+\varphi)$	$\underline{x}=x_0\mathrm{e}^{j(\omega t+\varphi)}$	$\underline{x}_0=x_0\mathrm{e}^{j\varphi}$