Mesure interférométrique de l’épaisseur d’une lame (corrigé)

lundi 9 avril 2007, par François Vandenbrouck

Voici le corrigé de l’exercice relatif à la mesure interférométrique de l’épaisseur d’une lame mince, grâce au montage suivant.

Les questions ont été reproduites en gras.

Décrire la figure d’interférences observée ainsi que la répartition de l’éclairement $\mathcal{E}(x)$ sur l’écran. Faire l’application numérique pour S₁S₂=a=1,0 mm ; $\lambda_0=600 nm$ et D=2,0 m. Définir puis calculer l’interfrange i.
La différence de marche au point M s’écrit : $\delta(M)=n_\mathrm{air}ax/D$ . Pour l’éclairement, on a : $\mathcal{E}(x)=2\mathcal{E}_0\left(1+\cos 2\pi\frac{ax}{\lambda_0 D}\right)$ (on considère que l’indice de l’air est égal à 1). Sur l’écran, on observe des franges rectilignes. L’interfrange i est défini comme la période spatiale de l’éclairement. Ici $i=\frac{\lambda_0 D}{a}$ . Numériquement, on trouve i=1,2 mm.
Une lame de verre d’épaisseur e, d’indice n, est placée avant S₂ (voir schéma ci-dessus). Déterminer la nouvelle position de la frange centrale. De combien d’interfranges s’est-elle déplacée ? Faire l’application numérique pour n=1,534 et e=0,01 mm. Pendant que la lumière parcourt le chemin optique ne en traversant la lame, sur la voie 1 où elle parcourt l’air sur une même épaisseur, le chemin optique vaut e. La lame introduit donc une différence de marche supplémentaire égale à (n-1)e. Le tableau qui suit permet d’établir la comparaison entre les deux configurations.

Sans lame Avec lame

Différence de marche $\delta(M)=\frac{ax}{D}$ $\delta(M)=\frac{ax}{D}+(n-1)e$

Ordre d’interférence $p(M)=\frac{ax}{\lambda_0 D}$ $p(M)=\frac{ax}{\lambda_0 D}+\frac{(n-1)e}{\lambda_0}$

Position de la frange d’ordre p $x_p=\frac{\lambda_0 D}{a}p=pi$ $x_p=\frac{\lambda_0 D}{a}p-\frac{(n-1)e D}{a}=pi-\frac{(n-1)ei}{\lambda_0}$

La simulation ci-dessous permet de visualiser le phénomème. Sur la partie supérieure est représentée la figure d’interférence sans la lame, en dessous avec la lame. Choisissez la longueur d’onde, renseignez les valeurs de n et de e et observez.

Vous semble-t-il possible de repérer le décalage de la frange centrale consécutif à la présence de la lame ? Pourquoi ?
La simulation montre que toutes les franges ont la même apparence. Il est donc impossible de repérer la frange centrale.
On remplace désormais la source monochromatique par une source de lumière blanche. L’indice du verre varie avec la longueur d’onde dans le vide selon la loi de Cauchy : $n(\lambda_0)=A+\frac{B}{\lambda_0^2}$ avec A=1,489 et B=4000 nm². On appelle frange achromatique celle pour laquelle $\left(\frac{\partial p(M)}{\partial\lambda_0}\right)=0$ pour une longueur d’onde moyenne à laquelle l’œil présente une sensibilité maximale : $\lambda_{0m}$ =600 nm. La quantité p(M) désigne l’ordre d’interférence en un point M de l’écran. Déterminer la position de la frange achromatique. Donner, en interfrange, l’écart entre la frange achromatique et la frange centrale en l’absence de la lame. La simulation suivante permet de visualiser le phénomène observé. La frange achromatique est repérée par la flèche rouge.

Conclure quant à l’intérêt d’utiliser une source de lumière blanche.
Calculons $\left(\frac{\partial p(M)}{\partial\lambda_0}\right)$ . En utilisant l’expression de l’ordre d’interférence figurant dans le tableau ci-dessus. On trouve : $\left(\frac{\partial p(M)}{\partial\lambda_0}\right)=-\frac{1}{\lambda_0^2}\left[\frac{ax}{D}+(n-1)e\right]+\frac{\partial n}{\partial\lambda_0}\frac{e}{\lambda_0}$ . Puisque $\frac{\partial n}{\partial\lambda_0}=-\frac{2B}{\lambda_0^3}$ , on trouve $x=\frac{eD}{a}\left[1-A-\frac{3B}{\lambda_0^2}\right]$ . Le décalage de la frange achromatique (située en x=0 en l’absence de lame) vaut $\frac{(1-A)e}{\lambda_0}-\frac{3Be}{\lambda_0^3}$ interfranges. Avec une lumière blanche, la frange achromatique (non colorée car correspondant à un ordre d’interférence quasiment identique pour de nombreuses longueurs d’onde) est aisément repérable. La mesure de son déplacement est alors possible.
Dans cette question, on néglige le phénomène de dispersion : B=0. Sachant que le dispositif des fentes d’Young permet d’obtenir des différences de marche géométriques allant de 0 à 10 µm, quelle est la valeur maximale de e qui peut être mesurée par cette méthode ? Qu’observe-t-on si on prend une lame ayant 1 mm d’épaisseur ? On rappelle que la longueur de cohérence temporelle de la lumière blanche peut être estimée en pratique à 3 µm.
La frange centrale peut être observée si la différence de marche supplémentaire introduite par la lame, à savoir (n-1)e reste inférieure à 10 µm. Cela correspond à une épaisseur maximale de 18,7 µm. Une lame de 1 mm d’épaisseur et d’indice égal à 1,534 introduit une différence de marche supplémentaire de 0,534 mm. C’est très largement supérieur à la longueur de cohérence de la lumière blanche : les interférences sont brouillées et l’on n’observe plus que du blanc d’ordre supérieur.

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	Sans lame	Avec lame
Différence de marche	$\delta(M)=\frac{ax}{D}$	$\delta(M)=\frac{ax}{D}+(n-1)e$
Ordre d’interférence	$p(M)=\frac{ax}{\lambda_0 D}$	$p(M)=\frac{ax}{\lambda_0 D}+\frac{(n-1)e}{\lambda_0}$
Position de la frange d’ordre p	$x_p=\frac{\lambda_0 D}{a}p=pi$	$x_p=\frac{\lambda_0 D}{a}p-\frac{(n-1)e D}{a}=pi-\frac{(n-1)ei}{\lambda_0}$