Forces centrales conservatives (étude générale)

Fiche résumé sur l’étude générale des forces centrales conservatives : les intégrales premières du mouvement sont établies à partir des lois de conservation (moment cinétique et énergie mécanique).

dimanche 27 janvier 2008, par Xavier Ducros

Sommaire

Forces centrales conservatives

Définition

Considérons un point matériel , dans un référentiel $\mathcal{R}$ , soumis à une force $\overrightarrow{f}(M)$ .

Une force $\overrightarrow{f}(M)$ est dite centrale lorsque son support passe constamment par un point fixe

appelé centre ou pôle de la force. Elle est dite attractive si la force est dirigée de

vers

, et répulsive si elle est dirigé de

vers

Supposons que cette force s’écrit $\overrightarrow{f}=f(r) \overrightarrow{u}_r$ où et $\overrightarrow{u}_r=\frac{\overrightarrow{OM}}{OM}$ le vecteur radial des coordonnées sphériques. Alors la force est conservative (cf. fiche travail et énergie) car elle dérive d’une énergie potentielle . En effet, calculons le travail élémentaire

$\delta W = f(r) \overrightarrow{u}_r . \mathrm{d}(r\overrightarrow{u}_r) = f(r) \overrightarrow{u}_r . (r \mathrm{d} \overrightarrow{u}_r + \mathrm{d} r \overrightarrow{u}_r) = f(r) \mathrm{d} r = -\mathrm{d} E_p(r)$

car $\mathrm{d} \overrightarrow{u}_r$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}_r$ .

Une force centrale conservative de la forme $\overrightarrow{f}=f(r) \overrightarrow{u}_r$ dérive d’une énergie potentielle

telle que

$f(r)=-\frac{\mathrm{d} E_p(r)}{\mathrm{d} r}$

Exemples

Il existe deux forces centrales très importantes en physique : la force de gravitation et la force de Coulomb.

La force de gravitation qui s’exerce entre deux masses ponctuelles situées en

est définie par :

$\overrightarrow{F}_{M\rightarrow M'}=-\frac{\mathcal{G}mm'}{MM'^2}\frac{\overrightarrow{MM'}}{MM'}$

où

sont les masses gravitationnelles de

. Cette interaction est toujours attractive.

Si le point (par exemple) est fixe dans le référentiel d’étude, on est alors en présence d’une force centrale de centre . En appelant la distance on a alors pour la force

$\overrightarrow{F}_{M\rightarrow M'}=-\frac{\mathcal{G}mm'}{r^2}\overrightarrow{u}_r$

Cette force dérive d’une énergie potentielle, appelée énergie potentielle de gravitation

$E_p(r)=-\frac{\mathcal{G}mm'}{r}$

où l’origine est choisie à l’infini.

La force électrostatique (dite de Coulomb) qui s’exerce entre deux charges ponctuelles placées en

est définie par :

$\overrightarrow{F}_{M\rightarrow M'}=\frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 MM'^2}\frac{\overrightarrow{MM'}}{MM'}$

où $\varepsilon_0=\frac{1}{36 \pi 10^9}$ F.m $^{-1}$ la permittivié du vide. Cette interaction est soit attractive (charges de signes opposés), soit répulsive (charges de même signe).

Comme précédemment, si le point est fixe par exemple, on est alors en présence d’une force centrale conservative qui dérive de l’énergie potentielle électrostatique

$E_p(r)=\frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0r}$

avec

et l’origine de l’énergie potentielle à l’infini.

Conservation du moment cinétique

On étudie un point matériel , dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ , soumis à une force centrale $\overrightarrow{f}(M)$ .

Loi de conservation

Appelons le pôle de la force centrale. Le moment cinétique en de la particule est donné par $\overrightarrow{L}_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{v}$ . Le théorème du moment cinétique appliqué à en s’écrit

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}_0}{\mathrm{d} t}=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}$

puisque la force est centrale, donc colinéaire au vecteur position.

Dans un mouvement à force centrale de centre

, le moment cinétique en

est constant.

Cette constante du mouvement va fournir une intégrale première du mouvement, c’est-à-dire une relation entre vitesse et position.

Planéité du mouvement

D’après sa définition, le moment cinétique est orthogonal à $\overrightarrow{OM}$ et à $\overrightarrow{v}$ . Comme le moment cinétique est constant, on en déduit que les vecteurs position et vitesse appartiennent au plan orthogonal au moment cinétique contenant . Ce plan est défini par les conditions initiales du mouvement.

Dans un mouvement à force centrale, le mouvement est plan et s’effectue dans le plan orthogonal au moment cinétique défini par les vecteurs position et vitesse à l’instant initial.

Dans le cas où le moment cinétique est nul, alors les vecteurs position et vitesse sont colinéaires : le mouvement est rectiligne (si l’un des deux est nul, le point ne bouge pas).

Comme le mouvement est plan nous allons pouvoir nous ramener à un problème à deux degrés de liberté et nous utiliserons les coordonnées polaires comme système de repérage (adapté au cas d’un centre fixe).

Constante des aires

Calculons le moment cinétique en coordonnées polaires

$\overrightarrow{L}_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{v}=r\overrightarrow{u}_r \wedge m (\dot{r}\overrightarrow{u}_r+r\dot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta=mr^2 \dot{\theta} \overrightarrow{u}_z$

où $\overrightarrow{u}_z=\overrightarrow{u}_r \wedge \overrightarrow{u}_\theta$ . La masse étant constante, on en déduit une intégrale première du mouvement, la constante des aires.

Pour un mouvement à force centrale, la conservation du moment cinétique donne une intégrale première du mouvement

$C=r^2\dot{\theta}=\mathrm{cste}$

appelée constante des aires. Elle est telle que $L_{O}=mC$ et est donc reliée aux conditions initiales

$C=r_0^2\dot{\theta}_0=\frac{L_0(t=0)}{m}$

Interprétation géométrique

L’aire balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ pendant $\mathrm{d} t$ (intervalle de temps infiniment petit) est donnée par

$\mathrm{d} \mathcal{A}=\frac{1}{2} || \overrightarrow{OM} \wedge \mathrm{d}\overrightarrow{OM}||$

Or, en polaires $\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=\mathrm{d} r \overrightarrow{u}_r + r\mathrm{d} \theta \overrightarrow{u}_\theta$ , donc

$\mathrm{d} \mathcal{A}=\frac{1}{2}r^2 \mathrm{d} \theta$

D’où

$\frac{\mathrm{d} \mathcal{A}}{\mathrm{d} t}=\frac{C}{2}=\mathrm{cste}$

L’expression précédente définit la vitesse aréolaire et permet d’énoncer la loi des aires.

Loi des aires : le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ balaye des aires égales pendant des temps égaux.

Conservation de l’énergie

Désormais, nous nous occuperons uniquement de forces centrales conservatives.

Pour un système soumis à une force centrale conservative, l’énergie mécanique se conserve, ce qui fournit une seconde intégrale première du mouvement : l’intégrale première de l’énergie (cf. fiche travail et énergie).

L’énergie mécanique s’exprime par

$E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+E_p(r)=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}m\frac{C^2}{r^2}+E_p(r)$

On pose l’énergie potentielle effective

$E_{p,\mathrm{eff}}(r)=\frac{1}{2}m\frac{C^2}{r^2}+E_p(r)$

ce qui permet d’écrire

$E_m=\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r)$

On constate alors que l’étude se ramène à celle d’un point matériel de masse

, dont la position est décrite par un seul degré de liberté

, et soumis à une force conservative d’énergie potentielle $E_{p,\mathrm{eff}}(r)$ .

Nous savons alors que la nature du mouvement peut être de deux types, suivant la valeur de l’énergie mécanique et la forme de $E_{p,\mathrm{eff}}(r)$ :
les états liés, pour lesquels le mouvement de est borné entre deux valeurs de ;
les états de diffusion correspondants à un mouvement non borné : peut s’éloigner à l’infini.

Méthode générale de résolution : utilisation des intégrales premières du mouvement

Les deux intégrales premières du mouvement obtenues par conservation du moment cinétique et de l’énergie mécanique suffisent à déterminer l’équation de la trajectoire puisque le problème ne comporte que deux degrés de liberté et $\theta$ .

L’intégrale première de l’énergie

$E_m=\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r)$

donne

$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = \pm \sqrt{ \frac{2}{m}\left( E_m-E_{p,\mathrm{eff}}(r) \right) }$

Le signe

est choisi si

s’éloigne de

, autrement c’est le signe

. En séparant les variables et en intégrant entre l’instants initial et l’instant

on obtient

$\int_{r_0}^{r(t)} \frac{\mathrm{d} r}{\pm \sqrt{ \frac{2}{m}\left( E_m-E_{p,\mathrm{eff}}(r) \right) }}=t$

Donc la fonction

est connue.

La constante des aires $C=r^2\dot{\theta}$ donne $\mathrm{d} \theta = \frac{C}{r^2} \mathrm{d} t$ . En intégrant entre et

$\theta(t)-\theta_0=C\int_0^t \frac{\mathrm{d} t}{r^2(t)}$

Donc la fonction $\theta(t)$ est connue.

La fonction $\theta(t)$ est nécessairement monotone d’après la loi des aires.

Les lois de conservation permettent de résoudre entièrement le problème étudié dans le cas général.

Néanmoins les intégrales précédentes ne sont pas forcément possibles à calculer. Dans le prochain chapitre, nous étudierons le cas des forces centrales newtoniennes, dont la force de gravitation et la force de Coulomb sont les principaux exemples.

Creative Commons

Répondre à cet article

RSS 2.0 | Plan du site | Espace privé |

| squelette