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Exercices corrigés sur les gaz parfaits et les gaz réels

samedi 29 mars 2008, par Xavier Ducros
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Quelques exercices classiques corrigés sur les gaz parfaits et les gaz réels.

Enoncés

Exercice 1 : quelques ordres de grandeur sur les gaz parfaits)

On assimile l’air à un gaz parfait. Les conditions sont P=1 bar et T=298 K. On rappelle les masses molaires M(O)=16 g/mol et M(N)=14 g/mol et R=8,31 J.K^{-1}.mol^{-1}. Evaluer :

  1. le volume molaire ;
  2. la masse molaire moyenne de l’air ;
  3. la densité moléculaire (nombre de molécules par unité de volume) ;
  4. la distance moyenne entre les molécules du gaz ;
  5. la vitesse quadratique moyenne des molécules de dioxygène ;
  6. l’énergie interne molaire.

Exercice 2 : remplissage d’une bouteille de plongée (d’après Mines-Ponts2004)

Afin d’effectuer le remplissage d’une bouteille à parois indéformables, de volume V_b, on utilise un compresseur constitué d’un cylindre, de deux soupapes S et S' et d’un piston, mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA' et BB'. Lors de l’aller (phase d’aspiration) la soupape S est ouverte alors que S' est fermée ; on a alors admission de l’air atmosphérique dans le cylindre à la pression P_\mathrm{atm}=1,013.10^5 Pa. Lors du retour (phase de compression), l’air dans le cylindre est comprimé, de la pression P_a à la pression P_b ; la soupape S est fermée alors que la soupape S' s’ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille P_b. Quand le piston est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est V_\mathrm{min} ; quand le piston est en BB', ce volume est égal à V_\mathrm{max}. Les transformations de l’air sont isothermes (les températures dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la température T_a de l’atmosphère) ; les transformations sont quasistatiques ; l’air est toujours considéré comme un gaz parfait.

  1. La pompe n’ayant pas encore fonctionné, l’état initial du système est le suivant :
    - Bouteille : pression P_b = P_\mathrm{atm}, température T_b = T_a.
    - Cylindre : pression P_\mathrm{atm} température T_a, position du piston AA'. Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression P_b à l’intérieur de la bouteille à la fin de cette transformation ; en déduire, sous l’hypothèse V_\mathrm{min} \ll V_b, la variation \Delta n du nombre de moles contenues dans la bouteille. Application numérique : V_b = 5.10^{-3} m^3, V_\mathrm{min}=2.10^{-5} m^3, V_\mathrm{max} =2.10^{-3} m^3, T_a =293 K et R=8,31 J.mol^{-1}.K^{-1}.
  2. Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu’à un instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape S' est fermée ; l’état du système est alors le suivant :
    - Bouteille : pression P_b= p , température T_b = T_a.
    - Cylindre : pression P_\mathrm{atm}, température T_a, position du piston AA'. Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d’air V’ dans le cylindre lorsque la soupape S' s’ouvre, puis, en fonction de p, V_b, P_\mathrm{atm},V_\mathrm{min} et V_\mathrm{max}, la pression p' dans la bouteille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, la variation \Delta p de la pression à l’intérieur de la bouteille. Déterminer la pression maximale p_{max} que l’on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu.
  3. Calculer \Delta p et p_\mathrm{max} pour p = 0,2.10^7 Pa, et en conservant les données numériques antérieures.

Exercice 3 : coefficients thermoélastiques du gaz parfait

On considère une mole de gaz parfait.

  1. Rappeler et calculer le coefficient de compressibilité isotherme. L’évaluer à pression et température ambiantes.
  2. Répondre à la même question pour le coefficient de dilatation isobare.

Exercice 4 : équation de Van der Waals

On rappelle l’équation d’état de Van der Waals pour une mole de gaz

\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT

  1. Rappeler la définition du coefficient de compressibilité isotherme. Le calculer pour un gaz de Van der Waals. Comment retrouver le cas du gaz parfait ?
  2. Montrer que dans le domaine des grands volumes

    PV=RT\left(1+\frac{A(T)}{V}\right)

    et donner l’expression de la fonction A(T).
  3. Dans l’approximation de la question précédente, déterminer la température de Mariotte T_M telle que le gaz se comporte comme un gaz parfait. Pour le dioxygène a=0,14 J.m^3.mol^{-2} et b=3,2.10^{-5} m^3.mol^{-1} : calculer T_M. On rappelle R=8,31 J.K^{-1}.mol^{-1}.

Corrigés

Exercice 1

  1. Le volume molaire est donné par l’équation d’état PV=RT pour une mole. Donc

    V_m=\frac{RT}{P} \approx 24,8\,\,\mathrm{L}

  2. La masse molaire moyenne de l’air s’obtient à l’aide de sa composition (80\% de diazote et 20\% de dioxygène) M=0,8*28+0,2*32 \approx 29 g/mol.
  3. La densité moléculaire (nombre de molécules par unité de volume) est donnée par n\mathcal{N}_A/V où \mathcal{N}_A\approx 6.10^{23} est le nombre d’Avogadro. Donc n^*=\frac{P\mathcal{N}_A}{RT} \approx 2,4.10^{25} particules par mètre cube.
  4. Le volume moyen occupé par une particule est de l’ordre de \frac{V_m}{\mathcal{N}_A}. En appelant d la distance moyenne entre particules, on voit que ce volume est du même ordre que d^3, donc

    d\approx \left( \frac{V}{\mathcal{N}_A} \right)^{1/3} \approx 3\,\mathrm{nm}

  5. La vitesse quadratique moyenne u (Voir le cours de théorie cinétique) des molécules s’obtient à l’aide de la définition de la température cinétique

    \frac{1}{2}mu^2=\frac{3}{2}k_BT

    où m est la masse d’une molécule et k_B la constante de Boltzmann. Donc

    u=\sqrt{\frac{3RT}{M}}

    car R=k_B \mathcal{N}_A. D’où pour le dioxygène (M=32 g/mol) : u\approx 480 m/s.
  6. Pour un gaz parfait diatomique, l’énergie interne molaire (Voir le cours de théorie cinétique) est U_m=\frac{5}{2}RT. D’où U_m\approx 6,2 kJ/mol.

Exercice 2

Dans cet exercice, les transformations sont isothermes, donc pour une quantité de matière constante PV=\mathrm{cste}.

  1. A la fin de la phase d’aspiration, la pression du gaz dans le cylindre est P_\mathrm{atm} et le volume est V_\mathrm{max}. Une fois l’aspiration terminée le nombre de moles dans le cylindre et la bouteille reste constant, donc

    P_\mathrm{atm}(V_\mathrm{max}+V_b)=P_b(V_\mathrm{min}+V_b)

    D’où

    P_b=P_\mathrm{atm}\frac{V_\mathrm{max}+V_b}{V_\mathrm{min}+V_b}

    D’après la loi des gaz parfaits, le nombre de moles de gaz avant et à la fin de la compression sont respectivement

    n_i=\frac{P_\mathrm{atm}V_b}{RT_a}\,\mbox{ et }\,n_f=\frac{P_bV_b}{RT_a}

    Après simplifications :

    \Delta n=n_f-n_i=\frac{V_b}{RT_a}\frac{P_\mathrm{atm}(V_\mathrm{max}-V_\mathrm{min})}{V_\mathrm{min}+V_b}

    Si V_\mathrm{min}\ll V_b alors

    \Delta n=\frac{P_\mathrm{atm}(V_\mathrm{max}-V_\mathrm{min})}{RT_a}

    AN : \Delta n=8,2.10^{-2} mol.
  2. La soupape S' s’ouvre dès que la pression dans le cylindre devient égale à la pression P_b=p dans la bouteille. La compression est également isotherme donc

    V'=V_\mathrm{max}\frac{P_\mathrm{atm}}{p}

    Lorsque S' est ouverte, le gaz contenu dans le cylindre et la bouteille, à la pression p subit une compression isotherme de V_b+V' à V_\mathrm{min}+V_b (pression p') d’où en procédant comme aux questions précédentes

    p'=\frac{P_\mathrm{atm}V_\mathrm{max}+pV_b}{V_b+V_\mathrm{min}}

    La variation de pression est (V_\mathrm{min} \ll V_b)

    \Delta p=p'-p=\frac{P_\mathrm{atm}V_\mathrm{max}-pV_\mathrm{min}}{V_b+V_\mathrm{min}}\approx \frac{P_\mathrm{atm}V_\mathrm{max}-pV_\mathrm{min}}{V_b}

    On constate que \Delta p diminue lorsque la pression p dans la bouteille augmente. Lorsque \Delta p=0 le remplissage de la bouteille est terminé et p maximale. On obtient

    p_\mathrm{max}=P_\mathrm{atm}\frac{V_\mathrm{max}}{V_\mathrm{min}}

    Cela correspond à la pression dans la bouteille telle que le piston arrive en AA' sans que la soupape S' ne s’ouvre (la pression atteinte lors de la compression n’est pas suffisante pour ouvrir S').
  3. On trouve \Delta p=3,2.10^4 Pa et p_\mathrm{max}=1,013.10^7 Pa.

Exercice 3

  1. On rappelle que

    \chi_{_T}=-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T

    Donc d’après la loi des gaz parfaits PV=RT, on obtient

    \chi_{_T}=-\frac{1}{V} \frac{-RT}{P^2}=\frac{1}{P}

    A pression ambiante \chi_{_T}\approx 10^{-5} Pa^{-1}.
  2. On rappelle que

    \alpha=\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P

    Donc d’après la loi des gaz parfaits PV=RT, on obtient

    \alpha=\frac{1}{V} \frac{R}{P}=\frac{1}{T}

    A pression ambiante (T=298 K), on trouve \alpha\approx 3,4.10^{-3} K^{-1}.

Exercice 4

  1. On rappelle que

    \chi_{_T}=-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T

    Le plus simple est de différencier l’équation d’état sur une isotherme

    V\,\mathrm{d} P+P\,\mathrm{d} V-b\,\mathrm{d} P-\frac{a}{V^2}\,\mathrm{d} V+\frac{2ab}{V^3}\,\mathrm{d} V=0

    Donc

    \chi_{_T}=-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T = -\frac{1}{V}\frac{b-V}{\displaystyle P-\frac{a}{V^2}+\frac{2ab}{V^3}}

    Pour retrouver le cas du gaz parfait il faut faire a=0 et b=0 dans l’équation d’état. On trouve \chi_{_T}=1/P, ce qui est bien le résultat pour un gaz parfait.
  2. D’après l’équation de Van der Waals

    PV=\frac{RT}{1-\frac{b}{V}}-\frac{a}{V}

    Pour les grands volumes V \gg b, donc on peut effectuer un développement limité à l’ordre 1 en 1/V

    PV=RT\left(1+\frac{b}{V}\right)-\frac{a}{V}

    D’où

    PV=RT\left[1+\left(b-\frac{a}{RT}\right)\frac{1}{V}\right]

    La fonction A(T) est donc égale à b-\frac{a}{RT}.
  3. La température pour laquelle on retrouve PV=RT correspond à la solution de A(T)=0. La température de Mariotte est

    T_M=\frac{a}{bR}

    On trouve T_M\approx 523 K

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