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Exercice corrigé sur le mouvement balistique

dimanche 16 novembre 2008, par Xavier Ducros

La simulation ci-dessous simule le tir d’un projectile, avec ou sans frottement. Réglez les différents paramètres, et essayez d’atteindre la cible en faisant le moins d’essais possibles… ou faites l’exercice qui suit, vous aurez ainsi directement les bonnes formules !

La première partie de l’exercice concerne le cas sans frottement, et peut être traité en terminale S. La seconde traite le cas avec frottement fluide proportionnel à la vitesse [1], et est plutôt du niveau prépa, mais reste compréhensible par un bon élève de terminale S. Nous vous proposons également un problème sur la chute libre.

Cliquez sur le bouton "Aide" pour plus d’explications sur ses différentes fonctions (parabole de sûreté, tirs en cloche ou tendu, frottement fluide etc.).

Enoncé

Les différents résultats établis dans cet exercice peuvent se vérifier sur la simulation précédente.

On lance, depuis un point (choisi comme origine) situé sur le sol, avec une vitesse initiale $\overrightarrow{v}_0$ faisant l’angle $\alpha$ avec l’horizontale, un point de masse dans le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g} = - g \overrightarrow{u}_z$ . On choisit l’axe dans le sens du mouvement, et l’axe vertical ascendant. Le référentiel terrestre est supposé galiléen.

On néglige les frottements avec l’air.
Déterminer l’équation de la trajectoire.
Calculer la portée du tir. Pour quelle valeur de $\alpha$ cette portée est-elle maximale, si la norme de $\overrightarrow{v}_0$ est fixée ?
On considère une cible, sur le sol, située à une distance de . Quelle est la vitesse initiale minimale qui permet de l’atteindre ? Montrer que pour une vitesse initiale qui vérifie la relation précédente, il y a deux angles de tir possibles (tir tendu ou en cloche).
Montrer que, pour fixée, la trajectoire reste toujours en dessous d’une courbe, appelée parabole de sûreté, dont on déterminera l’équation.
On prend en compte maintenant une force de frottement fluide due à l’air, supposée de la forme $\overrightarrow{f} = - m k \overrightarrow{v}$ , avec le coefficient de frottement, constante positive.
Quelle est la dimension de ?
Calculer les composantes horizontale et verticale de la vitesse en fonction du temps.
En déduire les composantes de la position du mobile en fonction du temps.
Déterminer la vitesse limite atteinte ; en déduire une nouvelle expression de la portée maximale du tir.

Corrigé

Les différents résultats établis peuvent se vérifier sur la simulation présente au début de l’article.

Cas sans frottement
L’application du principe fondamental de la dynamique à M, dans le référentiel terrestre, s’écrit $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$ . Cette relation s’intègre pour donner la vitesse $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{g}t+\overrightarrow{v}_0$ . Une nouvelle intégration permet d’obtenir le vecteur position $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{g}t^2+\overrightarrow{v}_0 t$ , puisque le mobile est lancé depuis l’origine du repère. Le mouvement est donc dans le plan formé par $\overrightarrow{g}$ et la vitesse intiale. La projection de la relation précédente sur donne $x(t)=v_0 \cos \alpha$ , et sur , on obtient $z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0 t \sin \alpha$ . L’expression de permet d’éliminer pour obtenir finalement
$z(t)=-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+x \tan \alpha$
La trajectoire est parabolique.
La portée du tir correspond à , pour $x\neq 0$ . Il suffit donc de résoudre , avec $x\neq 0$ . On obtient facilement, en utilisant que $\sin(2\alpha)=2\cos\alpha\sin\alpha$
$z_p=\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$
Pour fixée, la portée est maximale pour $\sin 2\alpha=1$ , c’est-à-dire pour $\alpha=\pi/4$ .
S’il est possible d’atteindre le point en question, alors vérifie $D=\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$ , donc $\sin 2 \alpha=\frac{gD}{v_0^2}$ . Cette équation possède une solution pour $\sin 2\alpha\leq 1$ , donc pour $v_0 \geq \sqrt{gD}$ . Dans ce cas, les angles qui permettent d’atteindre la cible sont
$\alpha=\frac{1}{2}\arcsin \frac{gD}{v_0^2}$

$\alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arcsin \frac{gD}{v_0^2}$

A fixée, les points que l’on peut atteindre vérifient l’équation de la parabole $z(t)=-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+x \tan \alpha$ . En remarquant que $1/\cos^2 \alpha = 1+\tan^2 \alpha$ , elle s’écrit $z=-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2}-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2}\tan^2 \alpha+x \tan \alpha$ . Pour pouvoir atteindre un point de coordonnées , il faut que l’équation précédente admette une solution réelle. Or, c’est une équation du second degré en $\tan \alpha$ , par conséquent, pour que des solutions réelles existent, son discriminant $\Delta$ doit être positif ou nul. Après calculs, on obtient
$z\leq \frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}$
L’égalité précédente doit être satisfaite pour que le point puisse être atteint : toutes les trajectoires sont donc situées sous la parabole d’équation $z=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}$ , appelée parabole de sûreté.

est homogène à une force, divisée par une masse et une vitesse, ce qui donne l’inverse d’un temps.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au projectile s’écrit $m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{g}-km\overrightarrow{v}$ . En simplifiant par , on obtient en projection sur l’axe $\frac{dv_x}{dt}=-kv_x$ , et sur l’axe $\frac{dv_z}{dt}=-kv_z-g$ . La projection sur donne de manière évidente que le mouvement est plan dans . Les solutions de la première équation sont de la forme (équation différentielle du premier ordre en ) $A\exp(-kt)$ , or $v_x(0)=v_0\cos\alpha$ , donc
$v_x(t)=v_0\cos\alpha\exp(-kt)$
La seconde s’intègre de la même manière (en ajoutant une solution particulière constante égale à
$v_z(t)=-\frac{g}{k}+\left(v_0\sin\alpha + \frac{g}{k}\right)\exp(-kt)$

Pour obtenir la position, il suffit d’intégrer par rapport au temps les deux équations précédentes (avec ) :
$x(t)=\frac{v_0\cos\alpha}{k}\left(1-\exp(-kt)\right)$

$z(t)=-\frac{gt}{k}+\frac{v_0\sin\alpha+g/k}{k}\left(1-\exp(-kt)\right)$

Lorsque tend vers l’infini (c’est-à-dire qu’il est grand devant ), on obtient que tend vers zéro, et vers . Le projectile atteint donc la vitesse limite $-g/k \overrightarrow{u}_z$ : le mouvement limite correspond à une chute verticale de vitesse constante, donc la portée maximale est la limite de lorsque tend vers l’infini : $x_{max}=\frac{v_0\cos\alpha}{k}$ . Remarquons qu’en général, cette asymptote n’est pas atteinte car le sol interrompt la trajectoire pour .