Equations différentielles

Fiche de cours sur les équations différentielles en physique. Cette fiche résumé donne les éléments essentiels à maîtriser pour le cours de physique en première année de prépa.

samedi 17 mars 2007, par Xavier Ducros

Généralités sur les équations différentielles

Définition des équations différentielles

Une équation différentielle est une égalité de la forme

$f\left( x,y(x),\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(x),\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}(x)... \right)=0$

où

est une fonction connue des variables $x,y(x),\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(x),\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}(x)...$ et y une fonction inconnue de x. On cherche les fonctions y(x) vérifiant cette équation.

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle ne contient (outre x et y) que la dérivée première $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ . Elle est du second ordre si elle contient la dérivée seconde $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}(x)$ , et ainsi de suite.

Une équation différentielle est dite à coefficients constants si les coefficients devant y et ses dérivées sont indépendants de x.

Une équation différentielle linéaire ne fait intervenir y et ses dérivées qu’à la puissance un. De cette façon si et sont deux fonctions solutions alors est aussi une solution : c’est le principe de superposition.

Exemple : l’équation $\sin x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+x^2 y^2 =2$ est du premier ordre, à coefficients non constants et non linéaire.

Equations du premier ordre

Solution de l’équation homogène

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants du premier ordre sans second membre (dite aussi homogène) est de la forme

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + a y=0$

où

est une constante.

Les solutions sont de la forme $y(t)=K \mathrm{e}^{-a\,t}$ où

est une constante que l’on détermine grâce à la condition initiale.

Une condition initiale sur y, ou sa dérivée, suffit [1] pour déterminer K.

Solution de l’équation avec second membre constant

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants du premier ordre avec second membre constant est de la forme

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + a y=c$

où

et c sont des constantes.

Le principe de résolution est le suivant :

Trouver la solution de l’équation homogène $y_H(t)=K \mathrm{e}^{-a\,t}$ ;

trouver une solution particulière :

;

d’après le principe de superposition,

. On détermine K à l’aide de la condition initiale.

Exemple : résoudre $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+y=2$ avec .

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme $A \mathrm{e}^{-t}$ et la solution particulière est 2. Les solutions sont donc $y(t)=A \mathrm{e}^{-t}+2$ . Pour avoir il faut avoir donc la solution cherchée est

$y(t)=2- \mathrm{e}^{-t}$

Equations du second ordre

Solution de l’équation homogène

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre sans second membre est de la forme

$a \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} + b \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + c y=0$

où

, b et c sont des constantes et

non nul. On appelle équation caractéristique de l’équation différentielle, l’équation algébrique

On classe les solutions de l’équation différentielle suivant les valeurs possibles de x.

Deux racines réelles distinctes

Soit $\alpha_1$ et $\alpha_2$ les deux racines, supposées réelles et distinctes. On note

$\alpha_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = -\lambda \pm \Omega$

Les solutions sont de la forme

$y(t)=\mathrm{e}^{-\lambda t} \left( C_1 \mathrm{e}^{\Omega \, t} + C_2 \mathrm{e}^{-\Omega \, t} \right)$

où

sont deux constantes que l’on détermine à l’aide des conditions initiales du problème physique étudié.

Une racine double

On note $\alpha=-\frac{b}{2a}$ la racine double.

Les solutions sont de la forme

$y(t)=\left( C_1 + C_2 \,t \right) \, \mathrm{e}^{\alpha \, t}$

où

sont deux constantes que l’on détermine à l’aide des conditions initiales.

Deux racines complexes

Soit $\alpha_1$ et $\alpha_2$ les deux racines complexes distinctes (on note )

$\alpha_{1,2} = \frac{-b \pm j \sqrt{4ac-b^2}}{2a} = -\lambda \pm j \omega$

Les solutions sont de la forme

$y(t)=\mathrm{e}^{-\lambda \, t} \left( C_1 \cos \omega \,t + C_2 \sin \omega \,t \right)$

ou encore

$y(t)=A \mathrm{e}^{-\lambda \, t} \, \cos \left( \omega \, t + \varphi \right)$

où les couples de constantes

ou $(A,\varphi)$ sont à déterminer à l’aide des conditions initiales.

Dans le cours de physique deux équations seront particulièrement importantes et il est fondamental de les connaître (ainsi que leurs solutions)

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2}+ \omega^2 y=0 \,\mbox{ ; } y(t)=A \cos \omega \, t + B \sin \omega \, t=C \sin \left( \omega \, t+\varphi \right)$

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2}- \omega^2 y=0 \,\mbox{ ; } y(t)=A \mathrm{e}^{\omega \, t} + B \mathrm{e}^{-\omega \, t}$

les constantes étant déterminées par les conditions initiales.

Pour les équations du second ordre, il faut deux conditions initiales (généralement une sur y et une sur sa dérivée) pour déterminer les constantes.

Exemple : résoudre $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2}-2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+2y=0$ avec .

C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L’équation caractéristique est et a pour solutions et . Les solutions sont donc de la forme $\mathrm{e}^t (A\cos t + B \sin t)$ , avec A et B à déterminer avec les conditions initiales. On trouve , donc la solution cherchée est

$y(t) = \mathrm{e}^t (\cos t - \sin t)$

Solution de l’équation avec second membre constant

La méthode consiste à trouver la solution de l’équation homogène , puis à donner une solution particulière constante . La solution de l’équation différentielle est alors d’après le principe de superposition. On détermine ensuite les constantes introduites grâce aux conditions initiales.

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Notes

[1] Problème de Cauchy

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