Circuit RC

Résumé de cours sur le circuit RC soumis à un échelon de tension.

jeudi 27 septembre 2007, par Xavier Ducros

Echelon de tension

Dans la suite, on définit un échelon de tension comme étant une fonction nulle jusqu’à un instant donné, pris comme origine des temps, et constante égale à

par la suite.

On soumet un circuit RC série à un tel échelon de tension en le branchant à un générateur de tension continue et à un interrupteur. Initialement l’interrupteur est ouvert et le condensateur supposé déchargé, et à on le ferme.

Equation différentielle de la tension aux bornes du condensateur

D’après la loi des mailles

car la résistance est en convention récepteur. Le condensateur étant lui aussi en convention récepteur, la relation suivante est vérifiée $i=C \frac{d u_c}{d t}$ . D’où, après réarrangement, l’équation différentielle vérifiée par

$\frac{d u_c}{d t} + \frac{1}{RC}u_c = \frac{E}{RC}$

On constate que

a la dimension d’un temps, on pose donc $\tau=RC$ , appelé constante de temps du circuit. D’où

$\frac{d u_c}{d t} + \frac{1}{\tau}u_c = \frac{E}{\tau}$

Solution de l’équation différentielle

D’après le cours sur les équations différentielles, nous savons que les solutions sont de la forme

$u_c(t)=u_{cH}(t)+u_{cP}$

où :

$u_{cH}$ est la solution de l’équation homogène $\frac{\ud u_c}{\ud t} + \frac{1}{\tau}u_c=0$ et est de la forme $A \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$ ;

$u_{cP}$ est une solution particulière : puisque le second memnbre est constant, une solution particulière évidente est $u_{cP}=E$ .

Finalement la solution cherchée est de la forme

$u_c(t)=E+A \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$

La constante

doit être déterminée par les conditions initiales. Aux instants

le condensateur est déchargé et l’interrupteur ouvert, donc

. Juste avant de fermer l’interrupteur on a donc

: le

signifie que l’on se place en $t=0-\varepsilon$ avec $\varepsilon>0$ et aussi petit que l’on veut. A

, on ferme l’interrupteur, or la tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue, donc (avec une notation similaire pour

)

D’où en utilisant la forme de la solution

On en déduit la forme de la solution cherchée

$u_c(t)=E \left( 1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \right)$

On constate que la tension croît jusqu’à atteindre , tension délivrée par le générateur. La tangente à l’origine coupe l’asymptote en $t=\tau$ , et à cet instant la tension aux bornes du condensateur a atteint $63\%$ de sa valeur en régime permanent. C’est un moyen expérimental simple de mesure la constante de temps $\tau$ , on parle de temps de montée à $63\%$ .

Courant électrique dans le circuit

A partir de l’expression de , on obtient $i(t)=C \frac{d u_c}{d t}=\frac{E}{R} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$ .

On constate que est discontinu en , contrairement à .

Signification physique de la constante de temps

On constate, pour et , que lorsque $t \gg \tau$ , alors la tension aux bornes de C tend vers et le courant tend vers zéro. Le système est alors dit en régime établi, ou permanent, c’est-à-dire que les grandeurs physiques ne dépendent plus du temps. Le temps $\tau$ donne l’ordre de grandeur du temps de réaction du circuit à une variation extérieure (ici l’échelon de tension). La période pendant laquelle le circuit s’adapte à la modification extérieure, de l’ordre de $\tau$ , s’appelle le régime transitoire.

De manière générale, pour une équation différentielle linéaire, à coefficients et second membre constant, la solution de l’équation homogène correspond au régime transitoire et la solution particulière au régime permanent.

Etude énergétique

Multiplions la loi des mailles par

D’après la relation entre

$Ei=Ri^2 + C u_c \frac{d u_c}{d t}$

Le dernier peut s’écrire comme une dérivée, donc

$Ei=Ri^2 + \frac{d}{d t}\left( \frac{1}{2}Cu_c^2 \right)$

Le premier terme est la puissance fournie par le générateur au circuit ;

le second est le terme d’effet Joule ;

le troisième est la puissance stockée dans le condensateur.

L’énergie fournie par le générateur se retrouve stockée dans le condensateur et dissipée par la résistance par effet Joule.

Il peut aussi être utile de faire un bilan sur toute la durée de charge du condensateur. Pour cela il suffit d’intégrer la relation précédente de à l’infini (en réalité quelques $\tau$ suffisent).

Le premier terme donne

$\int_0^\infty Ei d t = CE \int_0^\infty d u_c=CE^2$

d’après le lien entre

et l’expression de

Le second terme s’intègre en utilisant

$\int_0^\infty R \frac{E^2}{R^2} \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}} d t = \frac{E^2}{R} \frac{\tau}{2}=\frac{1}{2}CE^2$

Le troisième terme s’intègre immédiatement puisque l’on a déjà la primitive

$\int_0^\infty \frac{d}{d t}\left( \frac{1}{2}Cu_c^2 \right) d t = \frac{1}{2}CE^2$

On obtient finalement

$CE^2 = \frac{1}{2}CE^2 + \frac{1}{2}CE^2$

Pour des durées grandes devant la constante de temps, la moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule, et l’autre moitié stockée dans le condensateur.

Creative Commons

P.-S.

A titre d’exercice, traiter le cas du circuit RC en régime libre. On considère un condensateur initialement chargé avec une charge Q. A t=0 on le branche sur une résistance R. Etudier $U_c(t)$ et $i(t)$.

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