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Chute d’un ressort


On considère deux masses accrochées à un ressort. L’ensemble est initialement au repos, par exemple accroché par un fil au plafond. A un instant pris comme origine, on coupe le fil. Le but est d’étudier le mouvement des deux masses dans le référentiel barycentrique et dans celui lié au sol.

2007, par Xavier Ducros
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Difficulté : 2/3


La simulation suivante présente une modélisation du problème. Le ressort est supposé sans masse et tous les frottements sont négligés. Le temps est en seconde, les longueurs en centimètres. Les marques rouges correspondent à la position du centre de masse de l’ensemble, repéré toutes les 0,5 secondes.

Dans la suite, on note m la masse de M_1 (point au-dessus) et 2m celle de M_2 (point du bas). On appelle G le centre de masse, g=10 m.s^{-2} le champ de pesanteur, k=3 N/m la constante de raideur du ressort dont la longueur à vide est l_0=10 cm.

On appelle Oz l’axe vertical ascendant, dont l’origine est au niveau du sol. On note \overrightarrow{u}_z le vecteur unitaire et H=140 cm la hauteur initiale de M_1. Le référentiel lié au sol est supposé galiléen.

Chute d’un ressort
-Au départ, le ressort a une longueur égale à




-Quel est le mouvement du centre de masse G ?




Sauf mention contraire, on se place dans le référentiel barycentrique.
-Ce référentiel est-il galiléen ?



-Combien vaut la projection de l’accélération d’entraînement sur Oz (arrondir à l’unité la plus proche, en m/s2) ?
   

-Combien vaut l’accélération de Coriolis (arrondir à l’unité la plus proche) ?
   

On repère la position d’un point M_i par rapport à G par \overrightarrow{GM}_i=z_i\overrightarrow{u}_z. Les équations suivantes sont projetées sur l’axe Oz.

-Le principe fondamental de la dynamique appliqué à M_1 dans le référentiel barycentrique est





-La relation entre z_1 et z_2 est




-L’équation du mouvement de M_1 dans le référentiel barycentrique est





-Combien vaut la période des oscillations des masses dans le référentiel barycentrique ?





-Combien vaut la masse m (arrondir à l’unité la plus proche, en kg) ?
   

On se place maintenant dans le référentiel lié au sol. On note Z la hauteur du point M_1par rapport au sol. Déterminez Z(t) en fonction de H,m,g,k et t et faites l’application numérique. Vous pouvez utiliser la simulation suivante pour comparer la courbe simulée et celle que vous avez obtenue. Un exemple de tracé de fonction est donné pour illustrer la syntaxe. Elles doivent se superposer correctement !

-Tapez "solution" si vous voulez obtenir la solution à cette dernière question après correction de vos réponses.
   


Quel est selon vous le niveau de cet exercice ?
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